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POJ3070 Fibonacci (矩阵快速幂)
阅读量:706 次
发布时间:2019-03-21

本文共 1452 字,大约阅读时间需要 4 分钟。

斐波那契数列的快速求解方法之一是矩阵快速幂,这种方法通过将问题转化为矩阵的乘法运算来高效解决问题。

斐波那契数列的性质表明,其数值计算可以通过矩阵的形式来表示。具体来说,某一个特定的二阶矩阵在被自身取幂之后,其结果能够得到斐波那契数列的第n项。这个二阶矩阵的结构是:

[[1, 1],[1, 0]]

通过对这个矩阵进行快速幂运算,我们可以快速计算出斐波那契数列的任意一项。

矩阵快速幂是一种基于将矩阵的乘法运算转化为位运算的方法,它能够在对数时间复杂度内完成高次矩阵幂的计算。这一技术的核心在于减少重复计算的次数,通过将运算过程分解到多个层级,逐步构建结果。

要实现矩阵快速幂,我们需要先编写一个矩阵乘法函数,然后将快速幂算法套用到矩阵上。这种方法避免了传统方法中对每一步都要重复计算的缺陷,能够显著提升计算效率。

以下是一个实现矩阵快速幂的C++代码示例:

#include 
#include
#include
#include
#include
using namespace std;typedef long long ll;double sum;const int Mod = 10000;const int maxx = 2;struct Matrix { int a[maxx][maxx];};Matrix multiply(Matrix a, Matrix b) { Matrix tem; for (int i = 0; i < 2; i++) for (int j = 0; j < 2; j++) { tem.a[i][j] = 0; for (int k = 0; k < 2; k++) { tem.a[i][j] = (tem.a[i][j] + a.a[i][k] * b.a[k][j]) % Mod; } } return tem;}ll qpow(Matrix a, int n) { Matrix ans; ans.a[0][0] = ans.a[1][1] = 1; ans.a[0][1] = ans.a[1][0] = 0; while (n) { if (n & 1) { ans = multiply(ans, a); } a = multiply(a, a); n >>= 1; } return ans.a[0][1];}int n;int main() { while (cin >> n) { Matrix org = {{1, 1}, {1, 0}}; if (n == -1) { return 0; } else { cout << qpow(org, n); } }}

通过上述代码,可以很容易地计算出斐波那契数列的第n项。用户只需将初始矩阵和要计算的指数值输入系统,这个程序会自动处理剩下的矩阵运算过程。

转载地址:http://wdmez.baihongyu.com/

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